Libros del Zorzal

Este libro es el resultado de una búsqueda de condiciones posibles para un proyecto de enseñanza que ofrezca a los alumnos la experiencia de producir conocimiento matemático. La actividad de modelización provee una visión integrada de la matemática y, desde nuestro punto de vista, permite recons-truir en el aula el “quehacer” de la disciplina.
Los problemas propuestos dejan a cargo de los estudiantes la responsabilidad de tomar decisiones sobre la pertinencia y la validez de los recursos que ponen en juego. El análisis que hacemos de los problemas abarca un entramado de cuestiones tanto matemáticas como didácticas. Se incluye el uso de la computadora como una herramienta que puede potenciar el trabajo matemático que se despliega.
Esperamos que este libro contribuya a hacer de la clase de Matemática un lugar de investigación y creatividad.

Silvia Segal es licenciada en Ciencias Matemáticas de la Facultad de Ciencias Exactas y Naturales de la Universidad de Buenos Aires.
Diana Giuliani es licenciada en Ciencias Matemáticas y profesora de enseñanza media y superior en matemática, egresada de la Universidad de Buenos Aires, y doctora en Matemática de la Universidad Ernst-Moritz-Arndt en Greifswald, Alemania.

En el siglo XX, la independencia entre el saber y el método de enseñanza muestra sus límites. Cada conocimiento científico nace históricamente en condiciones diferentes, específicas y que se integran a ese conocimiento. Para mejorar el aprendizaje de una cantidad mayor de alumnos, es necesario organizar las condiciones apropiadas, es decir, las situaciones que produzcan un efecto similar.

Así, en matemáticas, ciertas actividades como interrogar un enunciado transformándolo en un problema, o reorganizar un conjunto de enunciados para facilitar su comunicación, su verificación y uso, son actividades de naturaleza tanto didáctica como matemática.

Por otro lado, gran parte de las condiciones que permitieron la emergencia de los conocimientos y que acompañan su funcionamiento, son borradas en su presentación estándar. Estrictamente deductiva, entonces casi enteramente reducida a razones lógicas, esa presentación ya didáctica oculta las razones matemáticas ligadas al sentido, y a consideraciones como el uso o la economía de pensamiento, es decir a las situaciones que condicionan su existencia.

Estas consideraciones están en la base del enfoque de la didáctica de la matemática desarrollado por Guy Brousseau y son la esencia del presente libro.

En este libro nos proponemos un estudio sobre la problemática didáctica del Álgebra escolar. Los que miran la escuela secundaria desde afuera señalan –y reclaman al respecto– que muy pocos alumnos alcanzan a tener algún grado de destreza en el trabajo algebraico. Los profesores no encuentran el modo de lograr que esas destrezas sean adquiridas por la clase. Las enseñanzas que despliegan y los aprendizajes que proponen quedan muchas veces atrapados en esa búsqueda de destreza, y el sentido de lo que se aprende queda oculto para la mayoría de los alumnos. Éste es un libro para los profesores comprometidos con un aprendizaje de sus alumnos basado en la construcción de sentido del trabajo matemático.

El tratamiento de lo general, la exploración, formulación y validación de conjeturas sobre propiedades aritméticas, la posibilidad de resolver problemas geométricos via un tratamiento algebraico, la puesta en juego de una coordinación entre diferentes registros de representación semiótica, son rasgos esenciales de la práctica algebraica que la colocan en el corazón de la actividad matemática. En este libro mostramos cómo a través de estas prácticas se puede ir construyendo el sentido de la operatoria algebraica, punto de apoyo para adquirir herramientas de control que son imprescindibles para lograr autonomía en el desempeño de los estudiantes.

¿Es posible entusiasmar a los alumnos e incorporarlos activamente desde una posición de interés intelectual en el trabajo? Los problemas que presentamos aquí se ubican en la perspectiva optimista acerca de esa posibilidad, alentadora para el docente que enseña Álgebra a nuestros adolescentes hoy. Esperamos entonces que resulte un aporte al fortalecimiento de esa gratificación que todo docente siente cuando logra involucrar a sus alumnos en los desafíos del aprendizaje.

Lograr que otros –los jóvenes que asisten a la escuela secundaria– se involucren en un proyecto de estudio tomando los modos de pensar y producir conocimiento típicos del quehacer geométrico es una tarea compleja y desafiante a la vez. Discutir algunas ideas que hagan viable una empresa tal es un propósito de este libro.

¿Con qué criterios elegir problemas fértiles para que los alumnos comprendan el funcionamiento de la Geometría? ¿Cuáles son las propiedades imprescindibles para “arrancar”? ¿Cómo “entrarán” en la escena del aula? ¿Qué relaciones se pueden plantear entre las construcciones a la Euclides y la producción de conocimiento geométrico? ¿Y entre dibujo y discurso? ¿Qué relaciones entre exploraciones y demostraciones? ¿Y entre Álgebra y Geometría?

Este libro invita a pensar los problemas didácticos que plantea la enseñanza de la Geometría cuando la misma sitúa como núcleo fundamental la construcción por parte de los estudiantes de herramientas que les permitan actuar sobre una porción de la realidad a través del sistema conceptual que ofrece una disciplina científica.

Este libro habla de la necesidad de pensar nuevamente en los fundamentos del trabajo de enseñar Matemática, de encontrar un sentido propio, una convicción profunda que valga la pena defender. Partimos de reconocer que la enseñanza se ubica en un contexto social extremadamente crítico pero reivindicamos al mismo tiempo la posibilidad de repensar la Matemática escolar, como un proyecto esencialmente didáctico.

Sostenemos que en esta realidad adversa y diversa en la que hoy nos toca vivir y actuar hay conocimiento acumulado que nos permite contornear algunas condiciones que abren la posibilidad de jugar otro juego dentro de la escuela.

Nos ubicamos en una perspectiva según la cual la Matemática es un producto cultural y social. Cultural, porque sus producciones están permeadas en cada momento por las concepciones de la sociedad en la que emergen y condicionan aquello que los matemáticos conciben como posible y relevante en distintos momentos de la historia; social, porque es el resultado de la interacción entre personas que se reconocen como pertenecientes a una misma comunidad.

En este libro se examina la complejidad de la actividad matemática con el objetivo de analizar condiciones posibles para un proyecto de enseñanza que ofrezca a los alumnos la experiencia de producir conocimiento matemático en la clase. Es nuestro objetivo contribuir a pensar cómo ayudar a los estudiantes a construir y ejercer el poder que otorga una posición de dominio frente al conocimiento.

Artículos de Prensa

Clarín, 31 de julio de 2005: “Cuando preguntan si sirve la Matemática, perdimos la batalla”, por Sibila Camps.

La Nación , 4 de septiembre de 2005: “Matemática sin fórmulas”.

Este libro convoca a pensar sobre la enseñanza de la Matemática. Más precisamente, sobre el proceso de construcción de conocimientos matemáticos en una clase. Proceso complejo, sin duda, en el que necesariamente se juegan tomas de posición: cómo se concibe la Matemática, por y para qué se enseña en la escuela, qué es aprender, qué tipo de producción se espera de los alumnos…

Éste es un libro de teoría didáctica. O sea, un libro en el que el “objeto” de estudio –el “misterio”– es el conjunto de cuestiones que intervienen en la elaboración de conocimientos en una clase; clase inserta en una institución, institución parte de la sociedad. 

El lector encontrará en este libro varias advertencias que señalan que la teoría didáctica no propone reglas de acción que se puedan utilizar en el aula de manera inmediata. Sostenemos de todos modos su “utilidad” porque concebimos que, para poder actuar, el profesor necesita tomar su práctica como objeto de reflexión y producir ideas que sostengan mejor esa acción siempre renovada de enseñar.

El enunciado general de que la enseñanza debe tomar a su cargo el aprendizaje de los alumnos del razonamiento matemático constituye, sin duda, un avance respecto de una tradición educativa que sólo se planteaba como objetivo la enseñanza de los contenidos curriculares. Significa el reconocimiento de que aprender a razonar según las reglas legítimas del pensamiento matemático no es algo que se produzca de manera espontánea.

Nos proponemos discutir esta idea general, buscando profundizarla. Sin pretensión de ser exhaustivos, abordaremos diferentes líneas de análisis, que tienen en cuenta la relación del razonamiento con los conocimientos de los alumnos, los problemas ligados a la validez lógica y la verdad, y la necesidad de tener en cuenta aspectos no sólo lógicos al interpretar los razonamientos de los alumnos. 

Estas líneas de análisis nos han conducido a la necesidad de pensar en la enseñanza del razonamiento no como un objeto (en sí mismo) sino en estrecha relación con los contenidos. Asimismo, a identificar que la responsabilidad didáctica en relación al razonamiento debe asumir no sólo el problema de las propuestas de enseñanza, sino muy especialmente el desafío de la intervención docente ajustada a los razonamientos de los alumnos.

Beppo Levi (1875-1961) fue un matemático tan versátil como distinguido. Aunque trabajó principalmente en geometría algebraica, hizo importantes incursiones (o correrías, como él mismo las llamaba) en otros campos, tales como el análisis matemático, la teoría de números, la teoría de conjuntos, la lógica y la didáctica de la matemática.

La lógica de la geometría de Euclides, en particular su sistematicidad y coherencia, sigue suscitando admiración. No debiera extrañar entonces que un matemático moderno, como Beppo Levi, le haya dedicado un estudio profundo, aunque sin la pesada carga erudita habitual. Ni es de extrañar que, a su vez, este libro del matemático italo-argentino despierte la curiosidad de lectores contemporáneos.

¿Qué resultó del encuentro de Euclides con Levi a la vuelta de veintidós siglos? Lo averiguarán quienes lean este libro tan original como claro.

Aprenderán a ver a Euclides, e incluso a su posible maestro, Platón, con ojos modernos. Y aprenderán, si no lo saben ya, los deleites de la conversación con muertos sin recurrir a trucos espiritistas.

Mario Bunge, 1999

Artículos de Prensa

La Nación, Enfoques, 27 de enero de 2002: “Lectura de Euclides y cuentos de hadas”, por Orlando Barone.

Novedades Educativas, mayo de 2001: “Ideas renovadoras en la enseñanza de la geometría”.

Clarín, Cultura y Nación, 13 de mayo de 2001: “Estética de la razón matemática”, por Guillermo Martínez.

Clarín, Educación, 1 de abril de 2001: “Un filósofo de la matemática”.

Le Monde Diplomatique, octubre de 2000: “Leyendo a Euclides”.

Página 12, Futuro, 17 de octubre de 2000: “¿Quién se acuerda de Beppo Levi?”, por Leonardo Moledo.

La Capital (Rosario), 17 de septiembre de 2000.

La Nación, Ciencia/Salud, 4 de septiembre de 2000: “Reedición de una obra de Beppo Levi”, por Nora Bär.

La Capital, 18 de septiembre de 2000: “Homenaje a Beppo Levi”.